বাস্তব সংখ্যা

বাস্তব সংখ্যা দ্বারা শুধুমাত্র সংখ্যাকে নির্দেশ করলে ও এটি আমাদের জীবনের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি দিক। সংখ্যা আমাদের জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে সহায়তা করে, সংখ্যা ব্যবহার করে আমরা ব্যাক্তিগত জীবন থেকে শুরু করে প্রকৃতি ও বিজ্ঞানের জগত পর্যন্ত পর্যালোচনা করে থাকি। উদাহরণস্বরূপ, একটি মানুষের উচ্চতা, ওজন, বয়স ইত্যাদি সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। আর আর্থিক দিক থেকে বললে, আমাদের প্রতিটি আর্থিক লেনদেন বা লেনদেনের বিবরণ একটি সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।যাই হোক বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য বাস্তব সংখ্যা খুবই গুরুত্বপূর্ণ।বাস্তব সংখ্যার পরিপূর্ণ ধারণা ছাড়া গণিতের সমস্যার সমাধান করতে পারব না। আজকের পাঠে আমরা এটি নিয়ে এ টু জেড পরিষ্কার ধারণা দেয়ার চেষ্টা করব। সর্বশেষে আমরা এই অধ্যায়ে বিগত সালের প্রশ্ন অনুশীলন করার সুযোগ করে দিয়েছি। যা আপনার প্রস্তুতিতে সহায়ক ভূমিকা পালন করবে বলে আমাদের বিশ্বাস।

অংক ও সংখ্যা

অংকঃ Digit অর্থ অংক।মানুষ হিসাব নিকাশ ও গণনা কার্যের জন্য যে সকল প্রতীক বা চিহ্ন ব্যবহার করে সেগুলোই অংক। গণিতে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত মোট ১০টি অংক রয়েছে। অংক দুই ধরনের যথা-

১। সার্থক অংক—১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯ ।
২। সহকারী অংক— ০ ।

সংখ্যা (Number): অংক দ্বারা পরিমাণ বুঝালে সংখ্যা হবে।এক বা একাধিক অংক মিলে সংখ্যা তৈরি হয়।একক অংক হিসেবে পরিমাণজ্ঞাপক হলে সার্থক অংকগুলোকে সংখ্যা বলা হয়।অর্থাৎ ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯ অংকগুলো দ্বারা পরিমাণ বোঝালে সেগুলোকে সংখ্যাও বলা হয়।

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): ১,২,৩,৪,… ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যা। অর্থাৎ ১ থেকে শুরু অসীম।যার কোন শেষ নেই।তবে এগুলোকে ধনাত্নক বা ঋণাত্নক বলে চিহ্নিত করা হয় না। এগুলো সবসময় স্বাভাবিক । স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ হয়।

মৌলিক সংখ্যা ( Prime Number ): যে সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। আরো সহজভাবে বললে, যে সংখ্যাকে অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমনঃ ৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা। উল্লেখ্য, ১ মেীলিক সংখ্যা নয়, যেহেতু এর উৎপাদক ১টি।মেীলিক সংখ্যার দুইটি উৎপাদক থাকে যথা ১ এবং ঐ সংখ্যা নিজে।ঋণাত্নক সংখ্যা কখনো মৌলিক হতে পারে না এবং মৌলিক সংখ্যা ২ থেকে শুরু হয়। একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হল ২ ।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা এবং ১০১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট ২১টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

সীমা	মৌলিক সংখ্যা	মোট	সর্বমোট
১ থেকে ১০	২,৩,৫,৭	৪ টি	(১-১০) ৪ টি
১১ থেকে ২০	১১,১৩,১৭,১৯	৪ টি	(১-২০) ৮ টি
২১ থেকে ৩০	২৩,২৯	২ টি	(১-৩০) ১০ টি
৩১ থেকে ৪০	৩১,৩৭	২ টি	(১-৪০) ১২ টি
৪১ থেকে ৫০	৪১,৪৩,৪৭	৩ টি	(১-৫০) ১৫ টি
৫১ থেকে ৬০	৫৩,৫৯	২ টি	(১-৬০) ১৭ টি
৬১ থেকে ৭০	৬১,৬৭	২ টি	(১-৭০) ১৯ টি
৭১ থেকে ৮০	৭১,৭৩,৭৯	৩ টি	(১-৮০) ২২ টি
৮১ থেকে ৯০	৮৩,৮৯	২ টি	(১-৯০) ২৪ টি
৯১ থেকে ১০০	৯৭	১ টি	(১-১০০) ২৫ টি

১০১ থেকে ২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

সীমা	মৌলিক সংখ্যা	মোট	সর্বমোট
১০১ থেকে ১১০	১০১,১০৩,১০৭,১০৯	৪ টি	(১০১-১১০) ৪ টি
১১১ থেকে ১২০	১১৩	১ টি	(১০১-১২০) ৫ টি
১২১ থেকে ১৩০	১২৭	১ টি	(১০১-১৩০) ৬ টি
১৩১ থেকে ১৪০	১৩১,১৩৭,১৩৯	৩ টি	(১০১-১৪০) ৯ টি
১৪১ থেকে ১৫০	১৪৯	১ টি	(১০১-১৫০) ১০ টি
১৫১ থেকে ১৬০	১৫১,১৫৭	২ টি	(১০১-১৬০) ১২ টি
১৬১ থেকে ১৭০	১৬৩,১৬৭	২ টি	(১০১-১৭০) ১৪ টি
১৭১ থেকে ১৮০	১৭৩,১৭৯	২ টি	(১০১-১৮০) ১৬ টি
১৮১ থেকে ১৯০	১৮১	১ টি	(১০১-১৯০) ১৭ টি
১৯১ থেকে ২০০	১৯১,১৯৩,১৯৭,১৯৯	৪ টি	(১০১-২০০) ২১ টি

মৌলিক ও অন্যান্য সংখ্যা

মৌলিক দ্বিজোড়: পরস্পর দুটি মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান ২ হলে তাকে মৌলিক দ্বিজোড় বলে।যেমন-৫,৭,১১,১৩ ইত্যাদি। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ৮টি মৌলিক দ্বিজোড় রয়েছে।

মৌলিক ত্রিজোড়: পরস্পর তিনটি মৌলিক সংখ্যার অন্তর ২ হলে তাদের মৌলিক ত্রিজোড় বলে।যেমন- ৩,৫,৭ ।

যৌগিক সংখ্যাঃ যে সকল সংখ্যাকে ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়াও অন্য এক বা একাধিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে।যেমন- ৪,৬,৮,৯,১০ ইত্যাদি।

সহমৌলিক সংখ্যা ( Co-Prime number ) : দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. ১ হলে তাদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক বলা হয়। যেমন ৮ ও ১৫ পরস্পর সহমৌলিক । কারণ এদের গ.সা.গু. ১ ।তবে সংখ্যা মৌলিক বা যৌগিক যাই হোক না কেন সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু বাদ দিয়ে যে উৎপাদকগুলো থাকে তা সর্বদা সহমৌলিক।উদাহরণস্বরুপ- ২০ ও ১৫। ২০ এর উৎপাদক হল ১,২,৪,৫,২০ এবং ১৫ এর উৎপাদক হল ১,৩,৫,১৫।এখানে ১ বাদে উভয়সংখ্যার উৎপাদকগুলো পরস্পরের সহমৌলিক।

জোড় ও বিজোড় সংখ্যা (Even & Odd number): যে সমস্ত সংখ্যা ২ দ্বারা ভাগ করা যায় অর্থাৎ যে সমস্ত সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক ২, ৪, ৬, ৮ বা ০ তারা জোড় সংখ্যা। যেমন—২, ৫৪, ১৫৬, ৯০৯৮, ১৫৮৩৪০, ইত্যাদি। উল্লেখ্য, ০ একটি জোড় সংখ্যা। আবার যে সব সংখ্যা ২ দ্বারা ভাগ করা যায় না অর্থাৎ যে সব সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক ১, ৩, ৫, ৭ বা ৯, তারা বিজোড় সংখ্যা। শুধু কোন অক্ষর যেমন- X, Y, Z জোড় সংখ্যা না আবার বিজোড় সংখ্যা ও না।আপনি যখন যাকে যা ধরবেন,তা-ই হবে। কিন্তু জোড় কিংবা বিজোড় যেকোনো সংখ্যাকেই ২ বা যেকোন জোড়সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল সবসময়ই জোড় সংখ্যা হয়।যেমন-2X জোড় নাকি বিজোড়? এখানে X এর মান বিজোড় সংখ্যা ১ ধরলে 2X এর মান ২ যা জোড় সংখ্যা।আবার X এর মান জোড় সংখ্যা ২ ধরলে 2X এর মান হয় ৪। এটিও জোড় সংখ্যা।কিন্তৃ বিজোড় সংখ্যা দিয়ে জোড় সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল জোড় হয়।আবার বিজোড় সংখ্যা দিয়ে বিজোড় সংখ্যাকে গুণ করলে গুণফল বিজোড় হয়।

পূর্ণসংখ্যা (Integer): যে সমস্ত সংখ্যার কোন ভগ্নাংশ থাকে না তাদেরকেই পূর্ণ সংখ্যা বলে । আরো সহজভাবে বললে, শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ডক সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। যেমন: ......৩,-২,-১,০,১,২,৩.......ইত্যাদি। পূর্ণসংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ হয়। পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা অসীম।

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number)

ভগ্নাংশ : কোন বস্তু বা পরিমাণের অংশ বা ভাগ নির্দেশ করতে যে সংখ্যা শ্রেণি ব্যবহৃত হয় তাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে। যেমন- ৩৫ ।
ভগ্নাংশ প্রধানত দুই প্রকার যথা- ১। সাধারণ ভগ্নাংশ ২। দশমিক ভগ্নাংশ।

সাধারণ ভগ্নাংশ: যে সব সংখ্যাকে pq আকারে প্রকাশ করা যায় তাকে সাধারণ ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে।সাধারণ ভগ্নাংশের উদাহরণ- ১৪ ।
সাধারণ ভগ্নাংশ আবার তিন প্রকার যথা- ১। প্রকৃত ভগ্নাংশ ২। অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ৩। মিশ্র ভগ্নাংশ।

প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে সব ভগ্নাংশের হর বড় এবং লব ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।উল্লেখ্য, ভগ্নাংশের নিচের সংখ্যাটিকে হর এবং উপরের সংখ্যাটিকে লব বলে।যেমন- ৩৮ ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে সব ভগ্নাংশের হর ছোট এবং লব বড় তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।যেমন- ১৫৮ ।

মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণসংখ্যার সাথে প্রকৃত ভগ্নাংশ যুক্ত থাকলে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে। যেমন- ৩১৫ ।

দশমিক ভগ্নাংশ

দশমিক ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশকে দশমিক (.) চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাকে দশমিক ভগ্নাংশ বলে। দশমিক বিন্দুর আগের অংশ পূর্ণসংখ্যা এবং পরের অংশ ভগ্নাংশ । দশমিক বিন্দু থেকে বামদিকের অঙ্কগুলোর স্থানীয় মন পর্যায়ক্রমে একক, দশক , শতক ইত্যাদি। এবং ডানদিকের অঙ্কগুলোর স্থানীয় মান পর্যায়ক্রমে দশমাংশ, শতাংশ, সহস্রাংশ ইত্যাদি।দশমিক ভগ্নাংশ দুই প্রকার যথা- সসীম দশমিক ও অসীম দশমিক।অসীম দশমিক আবার দুই প্রকার যথা অসীম আবৃত এবং অসীম অনাবৃত।

সসীম দশমিক ভগ্নাংশ: যে সংখ্যাকে ভাগ করলে দশমিক বিন্দুর পরের সংখ্যাগুলো সসীম বা নির্দিষ্ট ফলাফল বের হয়ে শেষ হয়ে যায়, এমন ভগ্নাংশকে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলে। যেমনঃ ৩.৫। এখানে, দশমিক সংখ্যার পর একটা নির্দিষ্ট সংখায় বের হয়ে ভাগ শেষ হয়ে গেছে মানে দশমিক সংখ্যাটা সসীমতায় আছে। তাই একে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলে।

অসীম আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ: যেসব দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর ডানে একটি অঙ্ক ক্রমান্বয়ে বারবার বা একাধিক অঙ্ক পর্যায়ক্রমে বারবার আসে, তাদের আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশ বলে। আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশে যে অংশ বারবার অর্থাৎ পুনঃপুনঃ হয়, তাকে আবৃত অংশ বলে। যেমন: ৩.৩৩৩৩..., ১০.২৩৪৫৬৪৫৬... ইত্যাদি আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক ভগ্নাংশ।

অসীম অনাবৃত দশমিক ভগ্নাংশ: যে অসীম দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক চিহ্নের ডানদিকের অঙ্ক কখনো শেষ হয় না, অর্থাৎ দশমিক চিহ্নের ডানদিকের অঙ্কগুলো সসীম হবে না অথবা অংশবিশেষ বারবার আসবে না। যেমন : 1.4142135......, 2.8284271..... ইত্যাদি অসীম অনাবৃত দশমিক ভগ্নাংশ। সসীম দশমিক ও আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা এবং অসীম অনাবৃত দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা। সহজ কথায় অসীম অনাবৃত দশমিক বাদে বাকি সবই মূলদ সংখ্যা। একমাত্র এটিই অমূলদ সংখ্যা।

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): আকারের যেকোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলে, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0। যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসেবে ও লেখা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সকল সংখ্যাকে আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সকল সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন: √2 = 1.414213…., কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।