সাধারণ ভগ্নাংশ
সাধারণ ভগ্নাংশ কাকে বলে ?
এ অধ্যায়টি শুরু করার আগে চলুন জেনে নেই সাধারণ ভগ্নাংশ কাকে বলে । যেহেতু যে কোন পূর্ণ সংখ্যার ভগ্ন বা ভাঙ্গা অংশকে ভগ্নাংশ বলে সে সূত্রে বলা যায় যে ভগ্নাংশ হর ও লব নিয়ে গঠিত হয় তাকেই সাধারণ ভগ্নাংশ বলে ।
সাধারণ ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করার নিয়ম
১. +
প্রথমেই ভগ্নাংশদ্বয়ের হর ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু নিতে হবে। ৪ ও ৫ এর ল.সা.গু = ২০। এখন প্রথম ভগ্নাংশের হর ৪ দিয়ে ২০ কে ভাগ করলে পাই ৫। এই ৫ কে আবার প্রথম ভগ্নাংশের লব ১ দিয়ে গুণ করতে হবে। গুণ করলে পাই ৫। তেমনিভাবে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর ৫ দিয়ে ২০ কে ভাগ করলে পাই ৪।এই ৪ কে আবার দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে ।গুণ করলে পাই ১২ ।এই প্রক্রিয়াটি নিচে লিখে দেখানো হল।
=
এবার উপরোক্ত ভগ্নাংশের লব ৫ ও ১২ যোগ করে পাই নিচের ভগ্নাংশটি।
=
এভাবেই ভগ্নাংশের যোগ করতে হবে।
২. +
প্রথমেই ভগ্নাংশদ্বয়ের হর ৬ ও ১৬ এর ল.সা.গু নিতে হবে।৬ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮।এখন প্রথম ভগ্নাংশের হর ৬ দিয়ে ৪৮ কে ভাগ করলে পাই ৮ ।এই ৮ কে আবার প্রথম ভগ্নাংশের লব ১ দিয়ে গুণ করতে হবে।গুণ করলে পাই ৮। তেমনিভাবে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর ১৬ দিয়ে ৪৮ কে ভাগ করলে পাই ৩।এই ৩ কে আবার দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে ।গুণ করলে পাই ১৫ ।এই প্রক্রিয়াটি নিচে লিখে দেখানো হল।
=
এবার উপরোক্ত ভগ্নাংশের লব ৮ ও ১৫ যোগ করে পাই নিচের ভগ্নাংশটি।
=
এভাবেই ভগ্নাংশের যোগ করতে হবে।
৩. + +
প্রথমেই ভগ্নাংশদ্বয়ের হর ৪,৮ ও ১৬ এর ল.সা.গু নিতে হবে।৪,৮ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ১৬।এখন প্রথম ভগ্নাংশের হর ৪ দিয়ে ১৬ কে ভাগ করলে পাই ৪ ।এই ৪ কে আবার প্রথম ভগ্নাংশের লব ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।গুণ করলে পাই ১২। দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর ৮ দিয়ে ১৬ কে ভাগ করলে পাই ২।এই ২ কে আবার দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে ।গুণ করলে পাই ১০ ।তেমনিভাবে তৃতীয় ভগ্নাংশের হর ১৬ দিয়ে ১৬ কে ভাগ করলে পাই ১।এই ১ কে আবার তৃতীয় ভগ্নাংশের লব ১৭ দিয়ে গুণ করতে হবে ।গুণ করলে পাই ১৭। এই প্রক্রিয়াটি নিচে লিখে দেখানো হল।
=
এবার উপরোক্ত ভগ্নাংশের লব ১২,১০ ও ১৭ যোগ করে পাই নিচের ভগ্নাংশটি।
=
৪. ৫ - ২
প্রথমেই উপরোক্ত মিশ্র ভগ্নাংশগুলোকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রুপ দিতে হবে।এজন্য প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দিয়ে পূর্ণ সংখ্যাকে গুণ করতে হবে এবং তার সাথে প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব যোগ করে অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব তৈরি করতে হবে।যা নিচে দেখানো হল।
= -
এখন ভগ্নাংশদ্বয়ের হর ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু নিতে হবে।৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২ ।এখন প্রথম ভগ্নাংশের হর ৩ দিয়ে ১২ কে ভাগ করলে পাই ৪ । এই ৪ কে আবার প্রথম ভগ্নাংশের লব ১৬ দয়ে গুণ করতে হবে।গুণ করলে পাই ৬৪। তেমনিভাবে দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর ৪ দিয়ে ১২ কে ভাগ করলে পাই ৩।এই ৩ কে আবার দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ৯ দিয়ে গুণ করতে হবে ।গুণ করলে পাই ২৭ ।এই প্রক্রিয়াটি নিচে লিখে দেখানো হল।
=
এবার উপরোক্ত ভগ্নাংশের লব ৬৪ থেকে ২৭ বিয়োগ করে পাই নিচের ভগ্নাংশটি।
=
সাধারণ ভগ্নাংশের গুণ ও ভাগ করার নিয়ম
সাধারণ ভগ্নাংশের গুণ
১. ×
সাধারণ ভগ্নাংশের গুণ করার সময় প্রথমেই দেখতে হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর কোন হর/লব দিয়ে কোন লব/হরকে ভাগ করা যায় কি না ? অথবা কোন একটি সংখ্যা দিয়ে হর ও লব উভয়কে কাটাকাটি করা যায় কিনা? যেমন উপরের ভগ্নাংশে কোন ভাগ অথবা কাটাকাটি করা যায় না।তাই প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরকে হর দিয়ে গুণ এবং লবকে লব দিয়ে গুণ করে লবগুলোর গুণফল লবের জায়গায় এবং হরগুলোর গুণফল হরের জায়গায় বসাতে হবে। তাই উপরের ভগ্নাংশদ্বয়ের গুণফল = ।
= ৫ × ২
প্রথমেই উপরোক্ত মিশ্র ভগ্নাংশগুলোকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রুপ দিতে হবে।এজন্য প্রতিটি ভগ্নাংশের হর দিয়ে পূর্ণ (সমস্ত) সংখ্যাকে গুণ করতে হবে এবং তার সাথে প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব যোগ করে অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব তৈরি করতে হবে।যা নিচে দেখানো হল।
= ×
এখন কাটাকাটি করতে হবে।দেখা যাচ্ছে হর ৩ দিয়ে লব ৯ কে ভাগ করা যায় । ৩ দিয়ে ৯ কে কাটলে হয় ৩।আবার হর ৪ দিয়ে ১৬ কে ভাগ করা যায়।৪ দিয়ে ১৬ কে কাটলে হয় ৪।তাহলে হরের ঘরে আর কোন সংখ্যাই রইল না।লবের ঘরে থাকল ৩ এবং ৪ ।৩ এবং ৪ এর গুণফল ১২।তাহলে ভগ্নাংশদ্বয়ের গুণফল দাড়ায় = ১২।
৩. × ×
এখন কাটাকাটি করতে হবে।দেখা যাচ্ছে হর ৮ দিয়ে লব ৮ কে ভাগ করা যায় । ৮ দিয়ে ৮ কে কাটলে হয় ১ ।আবার লব ৫ দিয়ে ১৫ কে ভাগ করা যায়।৫ দিয়ে ১৫ কে কাটলে হয় ৩। এই ৩ দিয়ে আবার লব ৩ কে কাটা যায় ।তাহলে হরের ঘরে শুধুমাত্র ৪ অবশিষ্ট রইল। লবের ঘরে আর কোন সংখ্যাই রইল না।তাহলে ভগ্নাংশগুলোর গুণফল দাড়ায় = ।
সাধারণ ভগ্নাংশের ভাগ
১. ÷
সাধারণ ভগ্নাংশের ভাগ সাধারণ ভগ্নাংশের গুণের মতই।এখানে পার্থক্য শুধু ভাগকে গুণে রুপান্তর করে পরবর্তী ভগ্নাংশকে বিপরীত ভগ্নাংশে রুপ দিতে হবে।যা নিচে দেখানো হল।
= ×
=
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয়
বিসিএসসহ অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় এরকম একটি প্রশ্ন প্রায়ই এসে থাকে। খুব সহজে এবং দ্রুতগতিতে ভগ্নাংশের ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বের করার নিয়ম জানার জন্য নিচের আলোচনাটি মনোযোগ দিয়ে পড়ুন।আশা করি উপকৃত হবেন।
দুটি নিয়মে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয় করা যায় । যেমন:
১. দশমিক মান বের করে ভগ্নাংশের তুলনার মাধ্যমে:
এক্ষেত্রে ভগ্নাংশগুলোর হর দিয়ে লবকে ভাগ করে ভাগফলটির দুই বা তিন দশমিক মান ঐ সংখ্যাটির পাশে বসিয়ে সবগুলো ভগ্নাংশ তুলনার মাধ্যমে বের করতে হয় কোনটি বৃহত্তম বা কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ। যেমন: = ০.৫০ , = ০.৩৩ , = ০.২৫ , = ০.২০ । এখানে বৃহত্তম ভগ্নাংশ হলো এবং ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ হলো । পরীক্ষার হলে ক্যালকুলেটর ব্যবহারের সুযোগ থাকলে এই পদ্ধতি প্রয়োগ করা হবে বুদ্ধিমানের কাজ।
২. আড়াআড়ি গুণ করার মাধ্যমে ভগ্নাংশের তুলনার মাধ্যমে:
প্রথমেই কিছু ভগ্নাংশ কিভাবে নিজে থেকেই ছোট বড় বের করতে পারবেন তা দেখে নিন:
কোন ভগ্নাংশের লবগুলো একই হলে যে ভগ্নাংশের হর ছোট সে ভগ্নাংশটিই বড় , এবং যে ভগ্নাংশটির হর বড় সে ভগ্নাংশটিই ছোট।যেমন: , , , এর মধ্যে বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম । কারণ ১ টাকা কে ২ ভাগ করলে ৫০ পয়সা হবে কিন্তু ঐ ১ টাকাকেই ৫ ভাগ করলে তা ২০ পয়সা হবে তাই , থেকে বড় ।
আবার কোন ভগ্নাংশের হর একই হলে যে ভগ্নাংশের লব বড় সে ভগ্নাংশটি বড় এবং যে ভগ্নাংশের লব ছোট সে ভগ্নাংশটি ছোট । যেমন: ও এর মধ্যে অবশ্যই বড় । কারণ ৭ টাকাকে ৯ ভাগ করলে যাই হোক ৫ টাকাকে ৯ ভাগ করলে তার থেকে ছোট হবে।
আবার কখনো লব বা হর কোনটাই না মিললে সমতুল ভগ্নাংশে রুপ দিয়ে মিলিয়ে নিতে হবে। কিভাবে দেখুন:
এবং এর মধ্যে কোনটি বড় অথবা কোনটি ছোট।এক্ষেত্রে প্রথম ভগ্নাংশকে দ্বিগুণ করে পরেরটার সাথে মিলাতে হবে।অর্থাৎ পরের ভগ্নাংশের হরের সমান হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপ দিতে হবে প্রথম ভগ্নাংশকে। ভগ্নাংশকে দ্বিগুণ,তিনগুণ এরুপ করলে ভগ্নাংশের মানের কোন পরিবর্তন হয় না। যেমন: > সুতরাং ই বড় ভগ্নাংশ ।
চারটি অপশনের মাঝে ভগ্নাংশের ছোট বড় নির্ণয়ের সহজ পদ্ধতি
ধরি, ভগ্নাংশ চারটি যথাক্রমে (ক) , (খ) , (গ) , (ঘ)
১ম ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে ২য় ভগ্নাংশের হর গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলটি ১ম ভগ্নাংশের মান হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
আবার, ২য় ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে ১ম ভগ্নাংশের হর গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলটি ২য় ভগ্নাংশের মান হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
এখানে, যে ভগ্নাংশের মানটি বড় হবে, সেই ভগ্নাংশটি বড় এবং সেই ভগ্নাংশের মান ছোট হবে, সেই ভগ্নাংশটি ছোট হবে।
চারটি অপশনের মাঝে তুলনা করার সময় বৃহত্তম ভগ্নাংশ বের করতে বলা হলে ক্ষুদ্রতমগুলো এক এক করে বাদ দিতে হবে, আবার ক্ষুদ্রতম বের করতে বলা হলে বৃহত্তমগুলো এক এক করে বাদ দিতে হবে ।
ধরি, উপরোক্ত অপশনের বড় ভগ্নাংশ বের করতে হবে।
(ক) ও (খ) এর মধ্যে ↔ , ৩×৮ = ২৪, ৫×৫ = ২৫ । সুতরাং এখানে (খ) বড় । তাই (ক) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (গ )এর মধ্যে ↔ , ৫×১১ = ৫৫, ৮×৬ = ৪৮। সুতরাং এখানেও (খ ) বড় । তাই (ক) ও (গ) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (ঘ) এর মধ্যে ↔ , ৫×১৪ = ৭০, ৮×৮ = ৮৮। সুতরাং এখানেও আবার (খ) বড় । কিন্তু (ক) ও (গ) অপশন আমরা আগেই বাদ দিয়েছিলাম।তাই এখন (ক),(গ),(ঘ) এ তিনটি বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।কাজেই সবচেয়ে বড় (খ) অপশন । সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় ।
এবার আরেকটি দেখুন:
ধরি, ভগ্নাংশ চারটি যথাক্রমে (ক) , (খ) , (গ) , (ঘ)
ধরি, উপরোক্ত অপশনের ছোট ভগ্নাংশ বের করতে হবে।
প্রথমেই আমরা ক ও খ অপশনের মাঝে একটিকে বাদ দিয়ে দিতে পারি কেননা দুটি সমহর বিশিষ্ট ।এটা সহজেই বোঝা যায় বড় । যেহেতু আমাদের ছোট ভগ্নাংশ বের করতে হবে তাই বড়গুলো বাদ দিতে হবে। তাই অপশন (খ) ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ ।তাই এখন (ক) অপশনকে নিয়ে আসব (গ) অপশনের সাথে তুলনা করার জন্য।এখানে উভয়টির লব ২ । তাই (ক) অপশন এখানে বড়। তাই এখানে আমাদের ছোট ভগ্নাংশ হিসেবে হাতে থাকল অপশন (গ) ।
এবার গ ও ঘ এর মধ্যে ↔ , ২×১৫ = ৩০, ৪×১৩ = ৫২। সুতরাং এখানেও আবার গ ছোট ।সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট ।
বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
১. ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড় ? [ বিএসটিআই এর অফিস সহকারী-২০১১]
উত্তরঃ (খ)
Explanation: এখানে, = ০.৬৬৬, = ০.৮, = ০.০৪১২, = ০.৭৬৬, সুতরাং সবচেয়ে বড়।
অথবা আড়গুণন পদ্ধতিতে..
১ম ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে ২য় ভগ্নাংশের হর গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলটি ১ম ভগ্নাংশের মান হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
আবার, ২য় ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে ১ম ভগ্নাংশের হর গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলটি ২য় ভগ্নাংশের মান হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
এখানে, যে ভগ্নাংশের মানটি বড় হবে, সেই ভগ্নাংশটি বড় এবং সেই ভগ্নাংশের মান ছোট হবে, সেই ভগ্নাংশটি ছোট হবে।
চারটি অপশনের মাঝে তুলনা করার সময় বৃহত্তম ভগ্নাংশ বের করতে বলা হলে ক্ষুদ্রতমগুলো এক এক করে বাদ দিতে হবে, আবার ক্ষুদ্রতম বের করতে বলা হলে বৃহত্তমগুলো এক এক করে বাদ দিতে হবে ।
(ক) ও (খ) এর মধ্যে ↔ , ২×৫ = ১০, ৪×৩ = ১২ । সুতরাং এখানে (খ) বড় । তাই (ক) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (গ )এর মধ্যে ↔ , ৪×৩১৫ = ১২৬০, ১৩×৫ = ৬৫। সুতরাং এখানেও (খ ) বড় । তাই (ক) ও (গ) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (ঘ) এর মধ্যে ↔ , ৪×৩০ = ১২০, ২৩×৫ = ১১৫। সুতরাং এখানেও আবার (খ) বড় । কিন্তু (ক) ও (গ) অপশন আমরা আগেই বাদ দিয়েছিলাম।তাই এখন (ক),(গ),(ঘ) এ তিনটি বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।কাজেই সবচেয়ে বড় (খ) অপশন । সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় ।
২. নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (করতোয়া)-২০১০]
উত্তরঃ (খ)
Explanation: এখানে, = ০.১, = ০.৬, = ০.২৬৬৭, = ০.২৮, সুতরাং সবচেয়ে বড়।
অথবা আড়গুণন পদ্ধতিতে..
১ম ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে ২য় ভগ্নাংশের হর গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলটি ১ম ভগ্নাংশের মান হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
আবার, ২য় ভগ্নাংশের লবের সঙ্গে ১ম ভগ্নাংশের হর গুণ করে প্রাপ্ত গুণফলটি ২য় ভগ্নাংশের মান হিসেবে বিবেচনা করতে হবে।
এখানে, যে ভগ্নাংশের মানটি বড় হবে, সেই ভগ্নাংশটি বড় এবং সেই ভগ্নাংশের মান ছোট হবে, সেই ভগ্নাংশটি ছোট হবে।
চারটি অপশনের মাঝে তুলনা করার সময় বৃহত্তম ভগ্নাংশ বের করতে বলা হলে ক্ষুদ্রতমগুলো এক এক করে বাদ দিতে হবে, আবার ক্ষুদ্রতম বের করতে বলা হলে বৃহত্তমগুলো এক এক করে বাদ দিতে হবে ।
(ক) ও (খ) এর মধ্যে ↔ , ২×৫ = ১০, ২০×৩ = ৬০ । সুতরাং এখানে (খ) বড় । তাই (ক) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (গ )এর মধ্যে ↔ , ৩×১৫ = ৪৫, ৪×৫ = ২০। সুতরাং এখানেও (খ ) বড় । তাই (ক) ও (গ) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (ঘ) এর মধ্যে ↔ , ২৫×৩ = ৭৫, ৭×৫ = ৩৫। সুতরাং এখানেও আবার (খ) বড় । কিন্তু (ক) ও (গ) অপশন আমরা আগেই বাদ দিয়েছিলাম।তাই এখন (ক),(গ),(ঘ) এ তিনটি বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।কাজেই সবচেয়ে বড় (খ) অপশন । সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় ।
৩. নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (সুরমা)-২০১০]
উত্তরঃ (গ)
Explanation: এখানে, = ০.৭৫, = ০.৫৭১, = ০.৮৫৭, = ০.৭৭৭, সুতরাং সবচেয়ে বড়।
অথবা আড়গুণন পদ্ধতিতে..
যেহেতু অপশন (খ) এবং (গ) সমহর বিশিষ্ট।তাই বোঝাই যাচ্ছে অপশন (গ) বৃহত্তম।কাজেই অপশন (খ) বাদ।
এখন (ক) ও (গ) এর মধ্যে ↔ , ৭×৩ = ২১, ৪×৬ = ২৪ । সুতরাং এখানে ও (গ) বড় । তাই (ক) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(গ) ও (ঘ )এর মধ্যে ↔ , ৯×৬ = ৫৪, ৭×৭ = ৪৯। সুতরাং এখানেও (গ ) বড় । তাই (ক) ,(গ) ও (ঘ) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ। সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় ।
৪. নিচে উল্লেখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বেশি? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (ইছামতি)-২০১০]
উত্তরঃ (ঘ)
Explanation: আমরা জানি, কোন ভগ্নাংশের লবগুলো একই হলে যে ভগ্নাংশের হর ছোট সে ভগ্নাংশটিই বড় , এবং যে ভগ্নাংশটির হর বড় সে ভগ্নাংশটিই ছোট।কাজেই এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বেশি বা বৃহত্তম ।
৫. নিচের কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (ইছামতি)-২০১০]
উত্তরঃ (গ)
Explanation: এখানে, = ০.৩৩৩, = ০.২৮৫, = ০.২৩৮, = ০.৫, সুতরাং সবচেয়ে ছোট।
অথবা আড়গুণন পদ্ধতিতে..
(ক) ও (খ) এর মধ্যে ↔ , ১×৭ = ৭, ২×৩ = ৬ । সুতরাং এখানে (খ) ছোট । তাই (ক) ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (গ )এর মধ্যে ↔ , ২১×২ = ৪২, ৭×৫ = ৩৫। সুতরাং এখানে (গ ) ছোট । তাই (ক) ও (খ) ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(গ) ও (ঘ) এর মধ্যে ↔ , ৬×৫ = ৩০, ৩×২১ = ৬৩। সুতরাং এখানেও আবার (গ) ছৈাট । তাই এখন (ক),(খ),(ঘ) এ তিনটি ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।কাজেই সবচেয়ে ছোট (গ) অপশন । সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট ।
৬. নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক (খুলনা)-২০০৯]
উত্তরঃ (গ)
Explanation: এখানে, = ০.৬৬৬, = ০.৭৫, = ০.৮, = ০.৭১৪, সুতরাং সবচেয়ে বড়।
অথবা আড়গুণন পদ্ধতিতে..
(ক) ও (খ) এর মধ্যে ↔ , ২×৪ = ৮, ৩×৩ = ৯ । সুতরাং এখানে (খ) বড় । তাই (ক) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (গ ) এর মধ্যে ↔ , ৫×৩ = ১৫, ৪×৪ = ১৬। সুতরাং এখানে (গ ) বড় । তাই (ক) ও (খ) বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(গ) ও (ঘ) এর মধ্যে ↔ , ৪×৭ = ২৮, ৫×৫ = ২৫। সুতরাং এখানেও আবার (গ) বড় । কিন্তু (ক) ও (খ) অপশন আমরা আগেই বাদ দিয়েছিলাম।তাই এখন (ক),(খ),(ঘ) এ তিনটি বড় ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।কাজেই সবচেয়ে বড় (গ) অপশন । সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় ।
৭. নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক (রাজশাহী)-২০০৯]
উত্তরঃ (খ)
Explanation: এখানে, = ০.৬, = ০.৪২৮, = ০.৪৪৪, = ০.৬৬৬ , সুতরাং সবচেয়ে ছোট।
অথবা আড়গুণন পদ্ধতিতে..
আমরা জানি, কোন ভগ্নাংশের লবগুলো একই হলে যে ভগ্নাংশের হর ছোট সে ভগ্নাংশটিই বড় , এবং যে ভগ্নাংশটির হর বড় সে ভগ্নাংশটিই ছোট।কাজেই এখানে (ক) ও (খ) অপশনের মাঝে ছোট ।তাই (ক) অপশন ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
এবার (খ) ও (গ) এর মধ্যে ↔ , ৯×৩ = ২৭, ৪×৭ = ২৮ । সুতরাং এখানে ও (খ) ছোট । তাই এখন (ক) ও (গ) ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ।
(খ) ও (ঘ )এর মধ্যে ↔ , ৩×৩ = ৯, ২×৭ = ১৪। সুতরাং এখানেও (খ ) ছোট । তাই (ক) (গ) ও (ঘ) ছোট ভগ্নাংশ বিবেচনা থেকে বাদ। সুতরাং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট ।
৮. কোন সংখ্যার অংশ ৮০ এর সমান ? [ বিএসটিআই এর অফিস সহকারী-২০১১]
উত্তরঃ (খ) ১৪০
Explanation: প্রশ্নমতে,
অংশ = ৮০
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ×৮০ = ১৪০
৯. কোন সম্পত্তির অংশের এর মূল্য ৯১০০.০০টাকা। ঐ সম্পত্তির অংশের মূল্য কত ? [ বিএসটিআই এর অফিস সহকারী-২০১১]
উত্তরঃ (ক) ৭৮০০ টাকা
Explanation: প্রশ্নমতে,
অংশের মূল্য = ৯১০০ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশের মূল্য = × ৯১০০ টাকা
অংশের মূল্য = = ৭৮০০ টাকা
১০. একটি বাঁশের অংশ কাদায়, অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত ? [ উপ-সহকারী প্রকৌশলী -২০১১]
উত্তরঃ (ক) ২০ মিটার
Explanation: মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১
কাদায় ও পানিতে আছে = + = অংশ,
পানির উপরে আছে = ১ - = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ৩ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = = ২০ মিটার
১১. কোন পুস্তকের ৯৬ পৃষ্ঠা পড়বার পরেও তার অংশ পড়তে বাকী থাকলে পুস্তকটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত ? [রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ (গোলাপ) পরীক্ষা-২০১১]
উত্তরঃ (খ) ১৫৬ পৃষ্ঠা
Explanation: মনে করি, সম্পূর্ণ বইটি ১
বইটির পড়া হয়েছে = ১ - = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ৯৬ পৃষ্ঠা
১ বা সম্পূর্ণ অংশ = = ১৫৬ পৃষ্ঠা
১২. এক খন্ড জমির অংশের মূল্য ৩৭৫ টাকা হলে ঐ জমির অংশের দাম কত ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ (গোলাপ) পরীক্ষা-২০১১]
উত্তরঃ (গ) ২০০ টাকা
Explanation: প্রশ্নমতে, অংশের মূল্য = ৩৭৫ টাকা
১ বা সম্পূর্ণ অংশের মূল্য = = ১০০০ টাকা
অংশের মূল্য = ১০০০ × = ২০০ টাকা
১৩. নিচের কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ (জবা) পরীক্ষা-২০১১]
উত্তরঃ (ঘ)
Explanation: ১ নং এর অনুরুপ।
১৪. একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের পার্থক্য ১ এবং সমষ্টি ৭। ভগ্নাংশটি কত ? [ ৭ম বেসরকারি প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা-২০১১]
উত্তরঃ (ক)
Explanation: এখানে, অপশনভিত্তিক যাচাই করা সবচেয়ে বেশি সুবিধা হবে। যেমন ৪+৩ = ৭ এবং ৪-৩ = ১। এভাবে যাচাই করতে হবে।তাছাড়া এখানে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ মাত্র একটিই
১৫. নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা? [ ৩০ তম বিসিএস]
উত্তরঃ (ক) ০.৩
Explanation: ০.৩ = ০.৩, √০.৩ = ০.৬৪, ১৩ = ০.৩৩, ২৫ = ০.৪ । সুতরাং ০.৩ ই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।
১৬. এক কেজি খাঁটি দুধে ২০০ গ্রাম পানি মিশ্রিত করলে মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে- [পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কমকতা-২০০৪]
উত্তরঃ (খ)
Explanation: এক কেজি = ১০০০ গ্রাম
দুধ+পানি = ১০০০+২০০ = ১২০০ গ্রাম
মিশ্রিত দুধে পানির পরিমাণ হবে = = অংশ
১৭. কোন সংখ্যার অংশ ৬৪ এর সমান ? [ ১৫তম বিসিএস]
উত্তরঃ (ঘ) ২২৪
Explanation: প্রশ্নমতে,
অংশ = ৬৪
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = × ৬৪ = ২২৪
১৮. দুটি ভগ্নাংশের গুণফল । এদের একটি হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত ? [খাদ্য পরিদর্শক পরীক্ষা-২০০০]
উত্তরঃ (ক)
Explanation: অপর ভগ্নাংশটি = দুটি ভগ্নাংশের গুণফল ÷ একটি ভগ্নাংশ = ÷ = × =
১৯. একটি বাঁশের অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক- তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ৪ ফুট পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত ফুট ? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (খ) ২৪
Explanation: মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১
মাটি ও পানিতে আছে = + = অংশ,
পানির উপরে আছে = ১ - = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ৪ ফুট
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৪ × ৬ = ২৪ মিটার
২০. পাঁচ ফুট দীর্ঘ একটি তারকে এমনভাবে দুভাগে ভাগ করা হলো যেন এক অংশ অন্য অংশের হয়। ছোট অংশটি কত ইঞ্চি লম্বা ? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (গ) ২৪
Explanation: এখানে, পাঁচ ফুট = ৬০ ইঞ্চি
ধরি, ছোট অংশটি = ২ক,বড় অংশটি =৩ক
প্রশ্নমতে, ৩ক+২ক = ৬০
বা,৫ক = ৬০
বা,ক = ৬০÷৫=১২
সুতরাং ছোট অংশটি = ২×১২ = ২৪ ইঞ্চি
২১. একটি বাঁশের অংশ কাদায়, অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক পরীক্ষা (রাজশাহী)-২০০৮]
উত্তরঃ (ক) ৯০ হাত
Explanation: মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১
কাদায় ও পানিতে আছে = + = অংশ,
পানির উপরে আছে = ১ - = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ৬ হাত
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ১৫ × ৬ = ৯০ হাত
২২. একটি পাত্র অংশ ভর্তি আছে। যদি ৮ গ্যালন সরানো হয় তবে অংশ ভর্তি থাকে । পাত্রটি কত গ্যালন ধারণ করে ? [কলকারখানা ও প্রতিষ্ঠান পরিদপ্তরের সহকারী পরিদশক পরীক্ষা-২০০৫]
উত্তরঃ (গ) ২০ গ্যালন
Explanation: এখানে, ৮ গ্যালন= - = = =
প্রশ্নমতে, অংশ = ৮ গ্যালন
১ বা সম্পূর্ণ অংশ = × ৮ = ২০ গ্যালন
২৩. একটি বাঁশের অংশ লাল, অংশ কাল ও সবুজ কাগজে আবৃত এবং অবশিষ্ট অংশ ২ মিটার হলে, বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত ? [প্রযোজক বিটিবি গ্রেড-২ পরীক্ষা-২০০৬]
উত্তরঃ (গ) ১২০ মিটার
Explanation: মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১
লাল, কাল ও সবুজ কাগজে আবৃত আছে = + + = অংশ,
অবশিষ্ট অংশ= ১ - = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ২ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ২ × ৬০ = ১২০ মিটার
২৪. একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত ? [ স্বরাষ্ট্র মন্তণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকতা-২০০৬]
উত্তরঃ (ক) ১২ মিটার
Explanation: মনে করি সম্পূর্ণ খুঁটিটি ১
মাটি ও পানিতে আছে = + = অংশ,
পানির উপরে আছে = ১ - = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ২ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ২ × ৬ = ১২ মিটার
২৫. একটি নার্সারিতে ১৬ জাতের ফুল গাছ আছে। অংশ জাতের ৫টি করে ও অংশ জাতের ৪টি করে গাছ। সর্বমোট কতটি গাছ আছে নার্সারিতে ? [সহকারী উপ খাদ্য পরিদর্শক পরীক্ষা-২০০৯]
উত্তরঃ (ক) ৬৮
Explanation: এখানে, ১৬ জাতের ফুল গাছের মধ্যে অংশ = ৪ টি জাত, অংশ = ১২ টি জাত,
৪ টি জাতের আছে ৫টি করে মোট = ৪×৫ = ২০ টি গাছ,
আবার, ১২ টি জাতের আছে ৪ টি করে মোট = ৪×১২ = ৪৮ টি গাছ।
নার্সারিতে সর্বমোট গাছ আছে = ২০+৪৮ = ৬৮ টি গাছ।
২৬. একটি পেট্রোল ট্যাংকের অংশ খালি করে ৫ ট্যাংক পূর্ণ করা হলো।কাজেই প্রত্যেকে সমপরিমাণ পেট্রোল ধারণ করে।প্রত্যেক ট্যাংকের ধারণ ক্ষমতা পূর্ণ ট্যাংকের কত অংশ? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (ক)
Explanation: ৫টি ট্যাঙ্কের ধারণ ক্ষমতা পূর্ণ ট্যাঙ্কের = অংশ
১টি ট্যাঙ্কের ধারণ ক্ষমতা পূর্ণ ট্যাঙ্কের = = অংশ
২৭. ৪টি ১ টাকার নোট ও ৮টি ২ টাকার নোট একত্রে ৮টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ? [২৯ তম বিসিএস]
উত্তরঃ (খ)
Explanation: ৪টি ১ টাকার নোট ও ৮টি ২ টাকার নোট একত্রে = ২০ টাকা।
৮টি ৫ টাকার নোট = ৪০ টাকা। এখন, = অংশ ।
২৮. কোনো একটি স্কুলের শিক্ষক-শিক্ষিকাদের মধ্যে অংশ মহিলা,পুরুষ শিক্ষকদের ১২ জন অবিবাহিত এবং অংশ বিবাহিত।ঐ স্কুলের শিক্ষক-শিক্ষিকার সংখ্যা কত? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯ (১ম ধাপ)]
উত্তরঃ (ক) ৯০
Explanation: ধরি , ঐ স্কুলের শিক্ষক-শিক্ষিকার সংখ্যা = ১
স্কুলের শিক্ষক-শিক্ষিকাদের মধ্যে অংশ মহিলা
পুরুষ শিক্ষক = ১ - = = অংশ
বিবাহিত পুরুষ = এর = অংশ
অবিবাহিত পুরুষ = - = = অংশ
প্রশ্নমতে, অংশ = ১২ জন
১ বা সম্পূণ অংশ = × ১২ = ৯০ জন
২৯. রহিম তার বেতনের টাকার অংশ খরচ করে একটি শার্ট এবং ৫০০ টাকা খরচ করে একটি প্যান্ট কিনলো । এই টাকা খরচ করার পর তার কাছে বেতনের ৪০ শতাংশ টাকা রয়ে গেল। রহিম কত টাকা বেতন পেয়েছিল? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (ঘ) কোনোটিই নয়
Explanation: ধরি, রহিম ‘ক’ টাকা বেতন পেয়েছিল। শার্ট কিনল = ক এর = অংশ দিয়ে ।
প্যান্ট কিনলো = ৫০০ টাকা খরচ করে
খরচ করার পর তার কাছে রইল = ক এর = টাকা
খরচ করল = ক - =
প্রশ্নমতে, - = ৫০০
বা, = ৫০০
বা, = ৫০০
বা, ৪০ক = ৫০০০০
বা, ক = ৫০০০০÷৪০ = ১২৫০
সুতরাং রহিম ১২৫০ টাকা বেতন পেয়েছিল।
৩০. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ২, হর ও লব উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সঙ্গে যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটি কত ? [ ২২তম বিসিএস,প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯]
উত্তরঃ (খ)
Explanation: এখানে, অপশনভিত্তিক যাচাই করা সবচেয়ে বেশি সুবিধা হবে। যেমন = = + = ১। অন্য অপশন গুলো দ্বারা প্রশ্নের শর্ত মিলবে না।
৩১. একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয় থেকে এক বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি হয়। কিন্তু হর এবং লব উভয়ের সঙ্গে এক যোগ করলে ভগ্নাংশটি হয়। ভগ্নাংশটি কত ? [থানা শিক্ষা অফিসার পরীক্ষা-১৯৯৯]
উত্তরঃ (গ)
Explanation: এখানে, অপশনভিত্তিক যাচাই করা সবচেয়ে বেশি সুবিধা হবে। যেমন = = আবার, = = । অন্য অপশন গুলো দ্বারা প্রশ্নের শর্ত মিলবে না।
৩২. এর হর এবং লবের সঙ্গে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি হয় ? [শ্রম অধিদপ্তরের উপ-সহকারি পরিচালক পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (খ) ৮
Explanation: এখানে, অপশনভিত্তিক যাচাই করা সবচেয়ে বেশি সুবিধা হবে । যেমন = =